Максим Сергеевич Цветков родился 3 января 1992 в г. Бабаево Вологодской области.

Начинал тренироваться в своем родном городе в ДЮСШ "Старт" в секции лыжных гонок у свего отца Цветкова Сергея Юрьевича. В 15 лет выиграл Всероссийские соревнования "Праздник Севера" и после этого момента был приглашен в команду Москвы по биатлону под руководством Лопухова Николая Петровича.

На первенстве мира в Нове Место (Чехия) в 2011 году – первых своих международных соревнованиях – выиграл золото трех гонок из четырех (спринт, гонка преследования, эстафета).

В 2012 году на первенстве мира в Контиолахти выиграл два личных золота – в спринте и пасьюте – и стал бронзовым призером эстафеты. Та эстафета запомнилась прежде всего благодаря борьбе за призовое место с французами, которую Максим выиграл.

В 2013 году на первенстве мира в Обертиллиахе Максим завоевал серебро гонки преследования и бронзовые медали спринта и эстафеты. В том же сезоне 2012/2013 провел первую гонку на этапе Кубка мира в норвежском Холменколлене и занял восьмое место.

Самое яркое событие сезона 2013/2014 – чемпионат Европы в Нове Место, где Максим снова завоевал комплект медалей (бронза в индивидуальной гонке, серебро спринта, золото пасьюта). Золотая медаль гонки преследования стала для него первым золотом во взрослом биатлоне.

С сезона 2014/2015 регулярно выступает на этапах Кубка мира. За прошедшие два сезона Максим помог сборной России завоевать четыре эстафетных награды: в сезоне 2014/2015 – в Хохфильцене и Холменколлене (обе – золото), в сезоне 2015/2016 – в Рупольдинге (серебро) и Антхольце (золото).

В сезоне 2015/2016 Максим выиграл первую личную медаль на этапе Кубка мира, показав второй результат в спринте на этапе в Антхольц-Антерсельве.

Выиграл личную серебряную медаль в гонке преследования на этапе Кубка мира в Эстерсунде. С его помощью эстафетная сборная России выиграла серебро на этапе Кубка мира в Поклюке и бронзу – в Антхольце. Победитель чемпионата мира по биатлону в Хохфильцене в составе эстафетной команды вместе с Алексеем Волковым, Антоном Бабиковым и Антоном Шипулиным.

В 2018 году одержал первую победу в личной гонке на этапе Кубка мира, выиграв масс-старт в Тюмени. Также в составе сборной команды стал бронзовым призером эстафетных гонок на этапах в Рупольдинге и Холменколлене.

В конце сезона на чемпионате России выиграл серебро в гонке преследования.

Награждён медалью ордена «За заслуги перед Отечеством» II степени (2019)

Проходил службу в спорт роте ЦСКА, продолжает службу в спортивном клубе ЦСКА.

Образование: МГГУ им. М.А. Шолохова, психология. МГАФК, менеджмент в спорте.